# Hegedus Aerodynamics

Derivation of Vector Form of Viscous Terms for Aero Troll CFD

Note: the equations below require MathML to be displayed.

Starting Equations (Ref. 1)

$F ^ v = 1 J 0 ξ x τ x x + ξ y τ x y + ξ z τ x z ξ x τ x y + ξ y τ y y + ξ z τ y z ξ x τ x z + ξ y τ y z + ξ z τ z z ξ x b x + ξ y b y + ξ z b z , G ^ v = 1 J 0 η x τ x x + η y τ x y + η z τ x z η x τ x y + η y τ y y + η z τ y z η x τ x z + η y τ y z + η z τ z z η x b x + η y b y + η z b z , H ^ v = 1 J 0 ζ x τ x x + ζ y τ x y + ζ z τ x z ζ x τ x y + ζ y τ y y + ζ z τ y z ζ x τ x z + ζ y τ y z + ζ z τ z z ζ x b x + ζ y b y + ζ z b z$ $b x = u τ x x + v τ x y + w τ x z - q x$ $b y = u τ x y + v τ y y + w τ y z - q y$ $b z = u τ x z + v τ y z + w τ z z - q z$ $τ x x = 2 3 μ 2 ∂ u ∂ x - ∂ v ∂ y - ∂ w ∂ z$ $τ y y = 2 3 μ 2 ∂ v ∂ y - ∂ u ∂ x - ∂ w ∂ z$ $τ z z = 2 3 μ 2 ∂ w ∂ z - ∂ u ∂ x - ∂ v ∂ y$ $τ x y = μ ∂ u ∂ y + ∂ v ∂ x$ $τ x z = μ ∂ w ∂ x + ∂ u ∂ z$ $τ x z = μ ∂ w ∂ x + ∂ u ∂ z$ $τ y z = μ ∂ v ∂ z + ∂ w ∂ y$ $q x = - κ ∂ a 2 ∂ x , q y = - κ ∂ a 2 ∂ y , q z = - κ ∂ a 2 ∂ z$ $∂ ∂ x = ξ x ∂ ∂ ξ + η x ∂ ∂ η + ς x ∂ ∂ ζ$ $∂ ∂ y = ξ y ∂ ∂ ξ + η y ∂ ∂ η + ς y ∂ ∂ ζ$ $∂ ∂ z = ξ z ∂ ∂ ξ + η z ∂ ∂ η + ς z ∂ ∂ ζ$

Derive Vector Equations

$F ^ v = 1 J 0 f ^ v , ρu f ^ v , ρv f ^ v , ρw f ^ v , ρe 0 , G ^ v = 1 J 0 g ^ v , ρu g ^ v , ρv g ^ v , ρw g ^ v , ρe 0 , H ^ v = 1 J 0 h ^ v , ρu h ^ v , ρv h ^ v , ρw h ^ v , ρe 0$ $f ^ v , ρu = ξ x τ x x + ξ y τ x y + ξ z τ x z , g ^ v , ρu = η x τ x x + η y τ x y + η z τ x z , h ^ v , ρu = ζ x τ x x + ζ y τ x y + ζ z τ x z f ^ v , ρv = ξ x τ x y + ξ y τ y y + ξ z τ y z , g ^ v , ρv = η x τ x y + η y τ y y + η z τ y z , h ^ v , ρv = ζ x τ x y + ζ y τ y y + ζ z τ y z f ^ v , ρw = ξ x τ x z + ξ y τ y z + ξ z τ z z , g ^ v , ρw = η x τ x z + η y τ y z + η z τ z z , h ^ v , ρw = ζ x τ x z + ζ y τ y z + ζ z τ z z f ^ v , ρe 0 = ξ x b x + ξ y b y + ξ z b z , g → v , ρe 0 = η x b x + η y b y + η z b z , h ^ v , ρe 0 = ζ x b x + ζ y b y + ζ z b z$

Momentum equation

$f ^ v , ρu$ equation.

$f ^ v , ρu = ξ x τ x x + ξ y τ x y + ξ z τ x z$ $= μ ξ x 2 3 2 ξ x ∂ u ∂ ξ + 2 η x ∂ u ∂ η + 2 ζ x ∂ u ∂ ζ - ξ y ∂ v ∂ ξ - η y ∂ v ∂ η - ζ y ∂ v ∂ ζ - ξ z ∂ w ∂ ξ - η z ∂ w ∂ η - ζ z ∂ w ∂ ζ + ξ y ξ y ∂ u ∂ ξ + η y ∂ u ∂ η + ζ y ∂ u ∂ ζ + ξ x ∂ v ∂ ξ + η x ∂ v ∂ η + ζ x ∂ v ∂ ζ + ξ z ξ x ∂ w ∂ ξ + η x ∂ w ∂ η + ζ x ∂ w ∂ ζ + ξ z ∂ u ∂ ξ + η z ∂ u ∂ η + ζ z ∂ u ∂ ζ$ $= μ ξ x 2 3 2 ξ x ∂ u ∂ ξ + 2 η x ∂ u ∂ η + 2 ζ x ∂ u ∂ ζ - ξ y ∂ v ∂ ξ - η y ∂ v ∂ η - ζ y ∂ v ∂ ζ - ξ z ∂ w ∂ ξ - η z ∂ w ∂ η - ζ z ∂ w ∂ ζ + ξ y ξ y ∂ u ∂ ξ + η y ∂ u ∂ η + ζ y ∂ u ∂ ζ + ξ x ∂ v ∂ ξ + η x ∂ v ∂ η + ζ x ∂ v ∂ ζ + ξ z ξ x ∂ w ∂ ξ + η x ∂ w ∂ η + ζ x ∂ w ∂ ζ + ξ z ∂ u ∂ ξ + η z ∂ u ∂ η + ζ z ∂ u ∂ ζ$ $= μ ξ x 2 3 3 ξ x ∂ u ∂ ξ + 3 η x ∂ u ∂ η + 3 ζ x ∂ u ∂ ζ - ξ x ∂ u ∂ ξ - ξ y ∂ v ∂ ξ - ξ z ∂ w ∂ ξ - η x ∂ u ∂ η - η y ∂ v ∂ η - η z ∂ w ∂ η - ζ x ∂ u ∂ ζ - ζ y ∂ v ∂ ζ - ζ z ∂ w ∂ ζ + ξ y ξ y ∂ u ∂ ξ + η y ∂ u ∂ η + ζ y ∂ u ∂ ζ + ξ x ∂ v ∂ ξ + η x ∂ v ∂ η + ζ x ∂ v ∂ ζ + ξ z ξ x ∂ w ∂ ξ + η x ∂ w ∂ η + ζ x ∂ w ∂ ζ + ξ z ∂ u ∂ ξ + η z ∂ u ∂ η + ζ z ∂ u ∂ ζ$ $= μ ξ x 2 ξ x ∂ u ∂ ξ + 2 η x ∂ u ∂ η + 2 ζ x ∂ u ∂ ζ - 2 3 ξ → · Δ U → ξ - 2 3 η → · Δ U → η - 2 3 ζ → · Δ U → ζ + ξ y ξ y ∂ u ∂ ξ + ξ y η y ∂ u ∂ η + ξ y ζ y ∂ u ∂ ζ + ξ y ξ x ∂ v ∂ ξ + ξ y η x ∂ v ∂ η + ξ y ζ x ∂ v ∂ ζ + ξ z ξ x ∂ w ∂ ξ + ξ z η x ∂ w ∂ η + ξ z ζ x ∂ w ∂ ζ + ξ z ξ z ∂ u ∂ ξ + ξ z η z ∂ u ∂ η + ξ z ζ z ∂ u ∂ ζ$ $= μ ξ x 2 ξ x ∂ u ∂ ξ + 2 η x ∂ u ∂ η + 2 ζ x ∂ u ∂ ζ - 2 3 ξ → · Δ U → ξ - 2 3 η → · Δ U → η - 2 3 ζ → · Δ U → ζ + ξ y ξ y ∂ u ∂ ξ + ξ z ξ z ∂ u ∂ ξ + ξ y ξ x ∂ v ∂ ξ + ξ z ξ x ∂ w ∂ ξ + ξ y η y ∂ u ∂ η + ξ z η z ∂ u ∂ η + ξ y η x ∂ v ∂ η + ξ z η x ∂ w ∂ η + ξ y ζ y ∂ u ∂ ζ + ξ z ζ z ∂ u ∂ ζ + ξ y ζ x ∂ v ∂ ζ + ξ z ζ x ∂ w ∂ ζ$ $= μ ξ x - 2 3 ξ → · Δ U → ξ - 2 3 η → · Δ U → η - 2 3 ζ → · Δ U → ζ + ξ x ξ x ∂ u ∂ ξ + ξ y ξ y ∂ u ∂ ξ + ξ z ξ z ∂ u ∂ ξ + ξ x ξ x ∂ u ∂ ξ + ξ x ξ y ∂ v ∂ ξ + ξ x ξ z ∂ w ∂ ξ + ξ x η x ∂ u ∂ η + ξ y η y ∂ u ∂ η + ξ z η z ∂ u ∂ η + η x ξ x ∂ u ∂ η + η x ξ y ∂ v ∂ η + η x ξ z ∂ w ∂ η + ξ x ζ x ∂ u ∂ ζ + ξ y ζ y ∂ u ∂ ζ + ξ z ζ z ∂ u ∂ ζ + ζ x ξ x ∂ u ∂ ζ + ζ x ξ y ∂ v ∂ ζ + ζ x ξ z ∂ w ∂ ζ$ $= μ ξ x 2 3 - ξ → · Δ U → ξ - η → · Δ U → η - ζ → · Δ U → ζ + ξ → · ξ → ∂ u ∂ ξ + ξ x ξ → · Δ U → ξ + ξ → · η → ∂ u ∂ η + η x ξ → · Δ U → η + ξ → · ζ → ∂ u ∂ ζ + ζ x ξ → · Δ U → ζ$ $= μ ξ x 1 3 ξ → · Δ U → ξ + η → · Δ U → η + ζ → · Δ U → ζ + ξ → · ξ → ∂ u ∂ ξ + ξ → · η → ∂ u ∂ η + ξ → · ζ → ∂ u ∂ ζ - ξ x η → · Δ U → η + η x ξ → · Δ U → η - ξ x ζ → · Δ U → ζ + ζ x ξ → · Δ U → ζ$ $= μ ξ x 1 3 ξ → · Δ U → ξ + η → · Δ U → η + ζ → · Δ U → ζ + ξ → · ξ → ∂ u ∂ ξ + ξ → · η → ∂ u ∂ η + ξ → · ζ → ∂ u ∂ ζ + Δ U → η · ξ → η x - Δ U → η · η → ξ x + Δ U → ζ · ξ → ζ x - Δ U → ζ · ζ → ξ x$ $f ^ v , ρv$ equation.
$f ^ v , ρv = ξ x τ x y + ξ y τ y y + ξ z τ y z$ $= μ ξ x ξ y ∂ u ∂ ξ + η y ∂ u ∂ η + ζ y ∂ u ∂ ζ + ξ x ∂ v ∂ ξ + η x ∂ v ∂ η + ζ x ∂ v ∂ ζ + ξ y 2 3 2 ξ y ∂ v ∂ ξ + 2 η y ∂ v ∂ η + 2 ζ y ∂ v ∂ ζ - ξ x ∂ u ∂ ξ - η x ∂ u ∂ η - ζ x ∂ u ∂ ζ - ξ z ∂ w ∂ ξ - η z ∂ w ∂ η - ζ z ∂ w ∂ ζ + ξ z ξ z ∂ v ∂ ξ + η z ∂ v ∂ η + ζ z ∂ v ∂ ζ + ξ y ∂ w ∂ ξ + η y ∂ w ∂ η + ζ y ∂ w ∂ ζ$ $= μ ξ x ξ y ∂ u ∂ ξ + η y ∂ u ∂ η + ζ y ∂ u ∂ ζ + ξ x ∂ v ∂ ξ + η x ∂ v ∂ η + ζ x ∂ v ∂ ζ + ξ y 2 3 2 ξ y ∂ v ∂ ξ + 2 η y ∂ v ∂ η + 2 ζ y ∂ v ∂ ζ - ξ x ∂ u ∂ ξ - η x ∂ u ∂ η - ζ x ∂ u ∂ ζ - ξ z ∂ w ∂ ξ - η z ∂ w ∂ η - ζ z ∂ w ∂ ζ + ξ z ξ z ∂ v ∂ ξ + η z ∂ v ∂ η + ζ z ∂ v ∂ ζ + ξ y ∂ w ∂ ξ + η y ∂ w ∂ η + ζ y ∂ w ∂ ζ$ $= μ ξ x ξ y ∂ u ∂ ξ + η y ∂ u ∂ η + ζ y ∂ u ∂ ζ + ξ x ∂ v ∂ ξ + η x ∂ v ∂ η + ζ x ∂ v ∂ ζ + ξ y 2 3 3 ξ y ∂ v ∂ ξ + 3 η y ∂ v ∂ η + 3 ζ y ∂ v ∂ ζ - ξ x ∂ u ∂ ξ - ξ y ∂ v ∂ ξ - ξ z ∂ w ∂ ξ - η x ∂ u ∂ η - η y ∂ v ∂ η - η z ∂ w ∂ η - ζ x ∂ u ∂ ζ - ζ y ∂ v ∂ ζ - ζ z ∂ w ∂ ζ + ξ z ξ z ∂ v ∂ ξ + η z ∂ v ∂ η + ζ z ∂ v ∂ ζ + ξ y ∂ w ∂ ξ + η y ∂ w ∂ η + ζ y ∂ w ∂ ζ$ $= μ ξ x ξ y ∂ u ∂ ξ + ξ x η y ∂ u ∂ η + ξ x ζ y ∂ u ∂ ζ + ξ x ξ x ∂ v ∂ ξ + ξ x η x ∂ v ∂ η + ξ x ζ x ∂ v ∂ ζ + ξ y 2 ξ y ∂ v ∂ ξ + 2 η y ∂ v ∂ η + 2 ζ y ∂ v ∂ ζ - 2 3 ξ → · Δ U → ξ - 2 3 η → · Δ U → η - 2 3 ζ → · Δ U → ζ + ξ z ξ z ∂ v ∂ ξ + ξ z η z ∂ v ∂ η + ξ z ζ z ∂ v ∂ ζ + ξ z ξ y ∂ w ∂ ξ + ξ z η y ∂ w ∂ η + ξ z ζ y ∂ w ∂ ζ$ $= μ ξ y 2 ξ y ∂ v ∂ ξ + 2 η y ∂ v ∂ η + 2 ζ y ∂ v ∂ ζ - 2 3 ξ → · Δ U → ξ - 2 3 η → · Δ U → η - 2 3 ζ → · Δ U → ζ + ξ x ξ x ∂ v ∂ ξ + ξ z ξ z ∂ v ∂ ξ + ξ x ξ y ∂ u ∂ ξ + ξ z ξ y ∂ w ∂ ξ + ξ x η x ∂ v ∂ η + ξ z η z ∂ v ∂ η + ξ x η y ∂ u ∂ η + ξ z η y ∂ w ∂ η + ξ x ζ x ∂ v ∂ ζ + ξ z ζ z ∂ v ∂ ζ + ξ x ζ y ∂ u ∂ ζ + ξ z ζ y ∂ w ∂ ζ$ $= μ ξ y - 2 3 ξ → · Δ U → ξ - 2 3 η → · Δ U → η - 2 3 ζ → · Δ U → ζ + ξ x ξ x ∂ v ∂ ξ + ξ y ξ y ∂ v ∂ ξ + ξ z ξ z ∂ v ∂ ξ + ξ y ξ x ∂ u ∂ ξ + ξ y ξ y ∂ v ∂ ξ + ξ y ξ z ∂ w ∂ ξ + ξ x η x ∂ v ∂ η + ξ y η y ∂ v ∂ η + ξ z η z ∂ v ∂ η + η y ξ x ∂ u ∂ η + η y ξ y ∂ v ∂ η + η y ξ z ∂ w ∂ η + ξ x ζ x ∂ v ∂ ζ + ξ y ζ y ∂ v ∂ ζ + ξ z ζ z ∂ v ∂ ζ + ζ y ξ x ∂ u ∂ ζ + ζ y ξ y ∂ v ∂ ζ + ζ y ξ z ∂ w ∂ ζ$ $= μ ξ y 2 3 - ξ → · Δ U → ξ - η → · Δ U → η - ζ → · Δ U → ζ + ξ → · ξ → ∂ v ∂ ξ + ξ y ξ → · Δ U → ξ + ξ → · η → ∂ v ∂ η + η y ξ → · Δ U → η + ξ → · ζ → ∂ v ∂ ζ + ζ y ξ → · Δ U → ζ$ $= μ ξ y 1 3 ξ → · Δ U → ξ + η → · Δ U → η + ζ → · Δ U → ζ + ξ → · ξ → ∂ v ∂ ξ + ξ → · η → ∂ v ∂ η + ξ → · ζ → ∂ v ∂ ζ - ξ y η → · Δ U → η + η y ξ → · Δ U → η - ξ y ζ → · Δ U → ζ + ζ y ξ → · Δ U → ζ$ $= μ ξ y 1 3 ξ → · Δ U → ξ + η → · Δ U → η + ζ → · Δ U → ζ + ξ → · ξ → ∂ v ∂ ξ + ξ → · η → ∂ v ∂ η + ξ → · ζ → ∂ v ∂ ζ + Δ U → η · ξ → η y - Δ U → η · η → ξ y + Δ U → ζ · ξ → ζ y - Δ U → ζ · ζ → ξ y$ Similarly, $f ^ v , ρw$ is found.

$f ^ v , ρw = ξ x τ x z + ξ y τ y z + ξ z τ z z$ $= μ ξ z 1 3 ξ → · Δ U → ξ + η → · Δ U → η + ζ → · Δ U → ζ + ξ → · ξ → ∂ w ∂ ξ + ξ → · η → ∂ w ∂ η + ξ → · ζ → ∂ w ∂ ζ + Δ U → η · ξ → η z - Δ U → η · η → ξ z + Δ U → ζ · ξ → ζ z - Δ U → ζ · ζ → ξ z$ Combining the above, the vector form of the viscous portion of the momentum equation, $f ^ → v , ρU$ , is found.
$μ ξ → 1 3 ξ → · Δ U → ξ + η → · Δ U → η + ζ → · Δ U → ζ + ξ → · ξ → Δ U → ξ + ξ → · η → Δ U → η + ξ → · ζ → Δ U → ζ + Δ U → η · ξ → η → - Δ U → η · η → ξ → + Δ U → ζ · ξ → ζ → - Δ U → ζ · ζ → ξ →$ or
$μ ξ → 1 3 ξ → · Δ U → ξ + η → · Δ U → η + ζ → · Δ U → ζ + ξ → · ξ → Δ U → ξ + ξ → · η → Δ U → η + ξ → · ζ → Δ U → ζ + Δ U → η × η → × ξ → + Δ U → ζ × ζ → × ξ →$ Similarly, $g ^ → v , ρU$ is found.
$μ η → 1 3 ξ → · Δ U → ξ + η → · Δ U → η + ζ → · Δ U → ζ + η → · ξ → Δ U → ξ + η → · η → Δ U → η + η → · ζ → Δ U → ζ + Δ U → ξ · η → ξ → - Δ U → ξ · ξ → η → + Δ U → ζ · η → ζ → - Δ U → ζ · ζ → η →$ or
$μ η → 1 3 ξ → · Δ U → ξ + η → · Δ U → η + ζ → · Δ U → ζ + η → · ξ → Δ U → ξ + η → · η → Δ U → η + η → · ζ → Δ U → ζ + Δ U → ξ × ξ → × η → + Δ U → ζ × ζ → × η →$ Similarly, $h ^ → v , ρU$ is found.
$μ ζ → 1 3 ξ → · Δ U → ξ + η → · Δ U → η + ζ → · Δ U → ζ + ζ → · ξ → Δ U → ξ + ζ → · η → Δ U → η + ζ → · ζ → Δ U → ζ + Δ U → ξ · ζ → ξ → - Δ U → ξ · ξ → ζ → + Δ U → η · ζ → η → - Δ U → η · η → ζ →$ or
$μ ζ → 1 3 ξ → · Δ U → ξ + η → · Δ U → η + ζ → · Δ U → ζ + ζ → · ξ → Δ U → ξ + ζ → · η → Δ U → η + ζ → · ζ → Δ U → ζ + Δ U → ξ × ξ → × ζ → + Δ U → η × η → × ζ →$

Energy equation

$f ^ v , ρe 0$ equation.

$f ^ v , ρe 0 = ξ x b x + ξ y b y + ξ z b z$ $= ξ x u τ x x + v τ x y + w τ x z + ξ y u τ x y + v τ y y + w τ y z + ξ z u τ x z + v τ y z + w τ z z - ξ x q x - ξ y q y - ξ z q z$ $= u ξ x τ x x + ξ y τ x y + ξ y τ x z + v ξ x τ x y + ξ y τ y y + ξ z τ y z + w ξ x τ x z + ξ y τ y z + ξ z τ z z - ξ x q x - ξ y q y - ξ z q z$ Focusing on the last three terms.

$- ξ x q x - ξ y q y - ξ z q z = κ ξ x ∂ a 2 ∂ x + ξ y ∂ a 2 ∂ y + ξ z ∂ a 2 ∂ z$ $= κ ξ x ξ x ∂ a 2 ∂ ξ + η x ∂ a 2 ∂ η + ζ x ∂ a 2 ∂ ζ + ξ y ξ y ∂ a 2 ∂ ξ + η y ∂ a 2 ∂ η + ζ y ∂ a 2 ∂ ζ + ξ z ξ z ∂ a 2 ∂ ξ + η z ∂ a 2 ∂ η + ζ z ∂ a 2 ∂ ζ$ $= κ ξ x ξ x + ξ y ξ y + ξ z ξ z ∂ a 2 ∂ ξ + ξ x η x + ξ y η y + ξ z η z ∂ a 2 ∂ η + ξ x ζ x + ξ y ζ y + ξ z ζ z ∂ a 2 ∂ ζ$ $= κ ξ → · ξ → ∂ a 2 ∂ ξ + ξ → · η → ∂ a 2 ∂ η + ξ → · ζ → ∂ a 2 ∂ ζ$ Putting it back together.

$f ^ v , ρe 0 = u ξ x τ x x + ξ y τ x y + ξ y τ x z + v ξ x τ x y + ξ y τ y y + ξ z τ y z + w ξ x τ x z + ξ y τ y z + ξ z τ z z + κ ξ → · ξ → ∂ a 2 ∂ ξ + ξ → · η → ∂ a 2 ∂ η + ξ → · ζ → ∂ a 2 ∂ ζ$ $f ^ v , ρe 0 = f ^ → v , ρU · U → + κ ξ → · ξ → ∂ a 2 ∂ ξ + ξ → · η → ∂ a 2 ∂ η + ξ → · ζ → ∂ a 2 ∂ ζ$ Similarily:

$g ^ v , ρe 0 = g ^ → v , ρU · U → + κ η → · ξ → ∂ a 2 ∂ ξ + η → · η → ∂ a 2 ∂ η + η → · ζ → ∂ a 2 ∂ ζ$ $h ^ v , ρe 0 = h ^ → v , ρU · U → + κ ζ → · ξ → ∂ a 2 ∂ ξ + ζ → · η → ∂ a 2 ∂ η + ζ → · ζ → ∂ a 2 ∂ ζ$

Axisymmetric

The following geometry relation will be assumed.

$η → · ξ → = 0$ $η → · ζ → = 0$ $g ^ → v , ρv$ equation.
$g ^ → v , ρv = μ η → 1 3 ξ → · Δ U → ξ + η → · Δ U → η + ζ → · Δ U → ζ + η → · η → Δ U → η + Δ U → ξ · η → ξ → - Δ U → ξ · ξ → η → + Δ U → ζ · η → ζ → - Δ U → ζ · ζ → η →$ Next, taking the vector triple product
$η → × η → × Δ U → η = η → · Δ U → η η → - η → · η → Δ U → η$ and rearranging it
$η → · η → Δ U → η = η → · Δ U → η η → - η → × η → × Δ U → η$ and then inserting it in the $g ^ → v , ρv$ equation leads to
$g ^ → v , ρv = μ η → 1 3 ξ → · Δ U → ξ + η → · Δ U → η + ζ → · Δ U → ζ + η → · Δ U → η η → - η → × η → × Δ U → η + Δ U → ξ · η → ξ → - Δ U → ξ · ξ → η → + Δ U → ζ · η → ζ → - Δ U → ζ · ζ → η →$ Next, the velocity difference in the η direction is given by
$Δ U → η = U → × Δ Θ →$ where
$Δ Θ →$ is along the axis.

Assuming U is in the η plane, then
$η → × Δ U → η = 0$ $η → · Δ U → ξ = 0$ $η → · Δ U → ζ = 0$ $ξ → · Δ U → η = 0$ $ζ → · Δ U → η = 0$ Therefore
$g ^ → v , ρv = μ η → 1 3 ξ → · Δ U → ξ + η → · Δ U → η + ζ → · Δ U → ζ + η → · Δ U → η η → - Δ U → ξ · ξ → η → - Δ U → ζ · ζ → η →$ $= μ η → 2 3 - ξ → · Δ U → ξ + 2 η → · Δ U → η - ζ → · Δ U → ζ$ $= μ η → 2 3 - ξ → · Δ U → ξ + 2 η → · U → × Δ Θ → - ζ → · Δ U → ζ$ $= μ η → 2 3 - ξ → · Δ U → ξ + 2 Δ Θ → × η → · U → - ζ → · Δ U → ζ$ Dot products are independent of the η index, therefore the following results when differencing in η direction.
$Δ η g ^ → v , ρv = μ i , j , k η → i , j + 1/2 , k - η → i , j - 1/2 , k 2 3 - ξ → · Δ U → ξ + 2 Δ Θ → × η → · U → - ζ → · Δ U → ζ i , j , k$ $Δ η g ^ → v , ρv = μ i , j , k 1 2 S → i , j + 1 , k η vol i , j + 1 , j - S → i , j - 1 , k η vol i , j - 1 , k 2 3 - ξ → · Δ U → ξ + 2 Δ Θ → × η → · U → - ζ → · Δ U → ζ i , j , k$ Where $S →$ is the area vector for a given cell side (η in this case) and vol is the volume of the cell.

Next, the relationship that the area vectors of the cell walls must add to zero will be used.
$S → i + 1 , j , k ξ - S → i - 1 , j , k ξ + S → i , j + 1 , k η - S → i , j - 1 , k η + S → i , j , k + 1 ζ - S → i , j , k - 1 ζ = 0$ Rearranging,
$S → i , j + 1 , k η - S → i , j - 1 , k η = - S → i + 1 , j , k ξ - S → i - 1 , j , k ξ - S → i , j , k + 1 ζ - S → i , j , k - 1 ζ$ Substituting this into $Δ η g ^ → v , ρv$ gives
$Δ η g ^ → v , ρv = - μ i , j , k 1 2 S → i + 1 , j , k ξ - S → i - 1 , j , k ξ + S → i , j k + 1 ζ - S → i , j , k - 1 ζ vol i , j , k 2 3 - ξ → · Δ U → ξ + 2 Δ Θ → × η → · U → - ζ → · Δ U → ζ i , j , k$

3D Thin Layer Set

Rearrange the 3D viscous momentum equations.

$f ^ → v , ρU = μ ξ → 1 3 ξ → · Δ U → ξ + ξ → · ξ → Δ U → ξ + μ ξ → 1 3 η → · Δ U → η + ζ → · Δ U → ζ + ξ → · η → Δ U → η + ξ → · ζ → Δ U → ζ + Δ U → η × η → × ξ → + Δ U → ζ × ζ → × ξ →$ $g ^ → v , ρU = μ η → 1 3 η → · Δ U → η + η → · η → Δ U → η + μ η → 1 3 ξ → · Δ U → ξ + ζ → · Δ U → ζ + η → · ξ → Δ U → ξ + η → · ζ → Δ U → ζ + Δ U → ξ × ξ → × η → + Δ U → ζ × ζ → × η →$ $h ^ → v , ρ U = μ ζ → 1 3 ζ → · Δ U → ζ + ζ → · ζ → Δ U → ζ + μ ζ → 1 3 ξ → · Δ U → ξ + η → · Δ U → η + ζ → · ξ → Δ U → ξ + ζ → · η → Δ U → η + Δ U → ξ × ξ → × ζ → + Δ U → η × η → × ζ →$ Next, the cross product and dot terms are dropped, leaving only the thin-layer set.

$f ^ → v , ρU = μ ξ → 1 3 ξ → · Δ U → ξ + ξ → · ξ → Δ U → ξ$ $f ^ v , ρe 0 = f ^ → v , ρU · U → + κ ξ → · ξ → ∂ a 2 ∂ ξ$ $g ^ → v , ρU = μ η → 1 3 η → · Δ U → η + η → · η → Δ U → η$ $g ^ v , ρe 0 = g ^ → v , ρU · U → + κ η → · η → ∂ a 2 ∂ η$ $h ^ → v , ρ U = μ ζ → 1 3 ζ → · Δ U → ζ + ζ → · ζ → Δ U → ζ$ $h ^ v , ρe 0 = h ^ → v , ρU · U → + κ ζ → · ζ → ∂ a 2 ∂ ζ$

Viscous Jacobian

The viscous Jacobians are derived from the 3D thin layer set.

To help derive the viscous Jacobian the following viscous solution vector is defined.

$Q v = ρ ρ u ρ ρ v ρ ρ w ρ ρ e 0$ The viscous Jacobian in the η direction is then defined as follows.

$∂ F ^ v ∂ Q = ∂ F ^ v ∂ Q v ∂ Q v ∂ Q$ The derivative of the viscous Flux is then split into a part that explicitly contains the velocity and explicitly contains the speed of sound.

$∂ F ^ v ∂ Q v = ∂ F ^ v ∂ U + ∂ F ^ v ∂ a 2 ∂ a 2 ∂ Q v$ Starting with, $\frac{\partial {\stackrel{\to }{\stackrel{^}{f}}}_{v\text{,}\rho U}}{\partial U}$

$f ^ → v , ρ U = μ ξ → 1 3 ξ → · Δ U → ξ + ξ → · ξ → Δ U → ξ = μ 1 3 ξ x ξ x + ξ → · ξ → 1 3 ξ x ξ y 1 3 ξ x ξ z 1 3 ξ y ξ x 1 3 ξ y ξ y + ξ → · ξ → 1 3 ξ y ξ z 1 3 ξ z ξ x 1 3 ξ z ξ y 1 3 ξ z ξ z + ξ → · ξ → Δ u Δ v Δ w$ $f ^ → v , ρ U = μ k → · k → 1 3 k ~ x k ~ x + 1 1 3 k ~ x k ~ y 1 3 k ~ x k ~ z 1 3 k ~ y k ~ x 1 3 k ~ y k ~ y + 1 1 3 k ~ y k ~ z 1 3 k ~ z k ~ x 1 3 k ~ z k ~ y 1 3 k ~ z k ~ z + 1 Δ u Δ v Δ w$ $∂ f ^ → v , ρ U ∂ U = μ k → · k → 1 3 k ~ x k ~ x + 1 1 3 k ~ x k ~ y 1 3 k ~ x k ~ z 1 3 k ~ y k ~ x 1 3 k ~ y k ~ y + 1 1 3 k ~ y k ~ z 1 3 k ~ z k ~ x 1 3 k ~ z k ~ y 1 3 k ~ z k ~ z + 1$ Next, $\frac{\partial \left({\stackrel{\to }{\stackrel{^}{f}}}_{v\text{,}\rho U}·\stackrel{\to }{U}\right)}{\partial U}$

$f ^ → v , ρ U · U → = μ k → · k → 1 2 u i + 1 + u i v i + 1 + v i w i + 1 + w i 1 3 k ~ x k ~ x + 1 1 3 k ~ x k ~ y 1 3 k ~ x k ~ z 1 3 k ~ y k ~ x 1 3 k ~ y k ~ y + 1 1 3 k ~ y k ~ z 1 3 k ~ z k ~ x 1 3 k ~ z k ~ y 1 3 k ~ z k ~ z + 1 Δ u Δ v Δ w$ $∂ f ^ → v , ρ U · U → ∂ u = μ k → · k → 1 2 1 0 0 1 3 k ~ x k ~ x + 1 1 3 k ~ x k ~ y 1 3 k ~ x k ~ z 1 3 k ~ y k ~ x 1 3 k ~ y k ~ y + 1 1 3 k ~ y k ~ z 1 3 k ~ z k ~ x 1 3 k ~ z k ~ y 1 3 k ~ z k ~ z + 1 Δ u ξ Δ v ξ Δ w ξ + u i + 1 + u i v i + 1 + v i w i + 1 + w i 1 3 k ~ x k ~ x + 1 1 3 k ~ x k ~ y 1 3 k ~ x k ~ z 1 3 k ~ y k ~ x 1 3 k ~ y k ~ y + 1 1 3 k ~ y k ~ z 1 3 k ~ z k ~ x 1 3 k ~ z k ~ y 1 3 k ~ z k ~ z + 1 1 0 0$ Since the transpose of a scaler is equal to the scaler, the second matrix multiplication set can be transposed.

$∂ f ^ → v , ρ U · U → ∂ u = μ k → · k → 1 2 1 0 0 1 3 k ~ x k ~ x + 1 1 3 k ~ x k ~ y 1 3 k ~ x k ~ z 1 3 k ~ y k ~ x 1 3 k ~ y k ~ y + 1 1 3 k ~ y k ~ z 1 3 k ~ z k ~ x 1 3 k ~ z k ~ y 1 3 k ~ z k ~ z + 1 Δ u ξ Δ v ξ Δ w ξ + 1 0 0 1 3 k ~ x k ~ x + 1 1 3 k ~ x k ~ y 1 3 k ~ x k ~ z 1 3 k ~ y k ~ x 1 3 k ~ y k ~ y + 1 1 3 k ~ y k ~ z 1 3 k ~ z k ~ x 1 3 k ~ z k ~ y 1 3 k ~ z k ~ z + 1 u i + 1 + u i v i + 1 + v i w i + 1 + w i$ $∂ f ^ → v , ρ U · U → ∂ u = μ k → · k → 1 2 1 0 0 1 3 k ~ x k ~ x + 1 1 3 k ~ x k ~ y 1 3 k ~ x k ~ z 1 3 k ~ y k ~ x 1 3 k ~ y k ~ y + 1 1 3 k ~ y k ~ z 1 3 k ~ z k ~ x 1 3 k ~ z k ~ y 1 3 k ~ z k ~ z + 1 Δ u ξ + u i + 1 + u i Δ v ξ + v i + 1 + v i Δ w ξ + w i + 1 + w i$ $∂ f ^ → v , ρ U · U → ∂ u = μ k → · k → 1 0 0 1 3 k ~ x k ~ x + 1 1 3 k ~ x k ~ y 1 3 k ~ x k ~ z 1 3 k ~ y k ~ x 1 3 k ~ y k ~ y + 1 1 3 k ~ y k ~ z 1 3 k ~ z k ~ x 1 3 k ~ z k ~ y 1 3 k ~ z k ~ z + 1 u v w$ $∂ f ^ → v , ρ U · U → ∂ u = μ k → · k → 1 3 k ~ x k ~ → · U → + u$ Finally the derivative of the viscous flux due to the explicit velocity terms is,

$∂ F ^ v ∂ U = μ k → · k → 0 0 0 0 0 0 1 3 k ~ x k ~ x + 1 1 3 k ~ x k ~ y 1 3 k ~ x k ~ z 0 0 1 3 k ~ y k ~ x 1 3 k ~ y k ~ y + 1 1 3 k ~ y k ~ z 0 0 1 3 k ~ z k ~ x 1 3 k ~ z k ~ y 1 3 k ~ z k ~ z + 1 0 0 1 3 k ~ x k ~ → · U → + u 1 3 k ~ y k ~ → · U → + v 1 3 k ~ z k ~ → · U → + w 0$ Next, $\frac{\partial {\stackrel{^}{F}}_{v}}{\partial {a}^{2}}\frac{\partial \left({a}^{2}\right)}{\partial {Q}_{v}}$

But first $\frac{\partial \left({a}^{2}\right)}{\partial \xi }$ must be placed in terms of the viscous solution vector.

$∂ a 2 ∂ ξ = ∂ γ p ρ ∂ ξ = γ ρ ∂ p ∂ ξ - γ p ρ 2 ∂ ρ ∂ ξ$ $p = γ - 1 ρ e 0 - 1 2 ρ u 2 + v 2 + w 2$ $∂ p ∂ ξ = γ - 1 ∂ ρ e 0 ∂ ξ - 1 2 u 2 + v 2 + w 2 ∂ ρ ∂ ξ - ρ u ∂ u ∂ ξ - ρ v ∂ v ∂ ξ - ρ w ∂ w ∂ ξ$ $∂ a 2 ∂ ξ = γ γ - 1 ρ ∂ ρ e 0 ∂ ξ - 1 2 u 2 + v 2 + w 2 ∂ ρ ∂ ξ - ρ u ∂ u ∂ ξ - ρ v ∂ v ∂ ξ - ρ w ∂ w ∂ ξ - γ γ - 1 ρ ρ e 0 - 1 2 ρ u 2 + v 2 + w 2 ρ ∂ ρ ∂ ξ$ $∂ a 2 ∂ ξ = γ γ - 1 ρ ∂ ρ e 0 ∂ ξ - ρ u ∂ u ∂ ξ - ρ v ∂ v ∂ ξ - ρ w ∂ w ∂ ξ - ρ e 0 ρ ∂ ρ ∂ ξ$ By inspection it can be seen that:

$∂ F ^ v ∂ a 2 ∂ a 2 ∂ Q v = κ k → · k → γ γ - 1 ρ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - ρ e 0 ρ - ρ u - ρ v - ρ w 1$ Therefore the derivative of the viscous flux with respect to the viscous solution vector when taking into account that $\kappa =\frac{\mu }{\mathrm{Pr}\left(\gamma -1\right)}$, becomes:

$∂ F ^ v ∂ Q v = μ k → · k → 0 0 0 0 0 0 1 3 k ~ x k ~ x + 1 1 3 k ~ x k ~ y 1 3 k ~ x k ~ z 0 0 1 3 k ~ y k ~ x 1 3 k ~ y k ~ y + 1 1 3 k ~ y k ~ z 0 0 1 3 k ~ z k ~ x 1 3 k ~ z k ~ y 1 3 k ~ z k ~ z + 1 0 0 1 3 k ~ x k ~ → · U → + u 1 3 k ~ y k ~ → · U → + v 1 3 k ~ z k ~ → · U → + w 0 + μ Pr k → · k → γ ρ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - ρ e 0 ρ - ρ u - ρ v - ρ w 1$ Next, dealing with $\frac{\partial {Q}_{v}}{\partial Q}$.

$∂ Q v ∂ Q = 1 0 0 0 0 0 1 ρ 0 0 0 0 0 1 ρ 0 0 0 0 0 1 ρ 0 0 0 0 0 1 - 0 0 0 0 0 ρ u ρ 2 0 0 0 0 ρ v ρ 2 0 0 0 0 ρ w ρ 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0$ $∂ Q v ∂ Q = 1 0 0 0 0 - ρ u ρ 2 1 ρ 0 0 0 - ρ v ρ 2 0 1 ρ 0 0 - ρ w ρ 2 0 0 1 ρ 0 0 0 0 0 1$ Putting it all together.

$∂ F ^ v ∂ Q v ∂ Q v ∂ Q = μ k → · k → 0 0 0 0 0 0 1 3 k ~ x k ~ x + 1 1 3 k ~ x k ~ y 1 3 k ~ x k ~ z 0 0 1 3 k ~ y k ~ x 1 3 k ~ y k ~ y + 1 1 3 k ~ y k ~ z 0 0 1 3 k ~ z k ~ x 1 3 k ~ z k ~ y 1 3 k ~ z k ~ z + 1 0 0 1 3 k ~ x k ~ → · U → + u 1 3 k ~ y k ~ → · U → + v 1 3 k ~ z k ~ → · U → + w 0 + μ Pr k → · k → γ ρ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - ρ e 0 ρ - ρ u - ρ v - ρ w 1 1 0 0 0 0 - ρ u ρ 2 1 ρ 0 0 0 - ρ v ρ 2 0 1 ρ 0 0 - ρ w ρ 2 0 0 1 ρ 0 0 0 0 0 1$ Results in:

$∂ F ^ v ∂ Q = μ k → · k → 1 ρ 0 0 0 0 0 - 1 3 k ~ x k ~ → · U → + u 1 3 k ~ x k ~ x + 1 1 3 k ~ x k ~ y 1 3 k ~ x k ~ z 0 - 1 3 k ~ y k ~ → · U → + v 1 3 k ~ y k ~ x 1 3 k ~ y k ~ y + 1 1 3 k ~ y k ~ z 0 - 1 3 k ~ z k ~ → · U → + w 1 3 k ~ z k ~ x 1 3 k ~ z k ~ y 1 3 k ~ z k ~ z + 1 0 - 1 3 k ~ → · U → 2 + U → · U → 1 3 k ~ x k ~ → · U → + u 1 3 k ~ y k ~ → · U → + v 1 3 k ~ z k ~ → · U → + w 0 + μ Pr k → · k → γ ρ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - ρ e 0 ρ - U → · U → - u - v - w 1$ The eigenvalues for this are:

$λ = μ k → · k → ρ 0 , 1 , 1 , 4 3 , γ Pr$

Diagonal Viscous Jacobian

$∂ F ^ v ∂ Q = T k T k - 1 ∂ F ^ v ∂ Q U + ∂ F ^ v ∂ Q a T k T k - 1$ Velocity part.

$T k - 1 ∂ F ^ v ∂ Q U T k = μ k → · k → 1 ρ T k - 1 0 0 0 0 0 - 1 3 k ~ x k ~ → · U → + u 1 3 k ~ x k ~ x + 1 1 3 k ~ x k ~ y 1 3 k ~ x k ~ z 0 - 1 3 k ~ y k ~ → · U → + v 1 3 k ~ y k ~ x 1 3 k ~ y k ~ y + 1 1 3 k ~ y k ~ z 0 - 1 3 k ~ z k ~ → · U → + w 1 3 k ~ z k ~ x 1 3 k ~ z k ~ y 1 3 k ~ z k ~ z + 1 0 - 1 3 k ~ → · U → 2 + U → · U → 1 3 k ~ x k ~ → · U → + u 1 3 k ~ y k ~ → · U → + v 1 3 k ~ z k ~ → · U → + w 0 k ~ x k ~ y k ~ z α α k ~ x u k ~ y u - k ~ z ρ k ~ z u + k ~ y ρ α u + k ~ x c α u - k ~ x c k ~ x v + k ~ z ρ k ~ y v k ~ z v - k ~ x ρ α v + k ~ y c α v - k ~ y c k ~ x w - k ~ y ρ k ~ y w + k ~ x ρ k ~ z w α w + k ~ z c α w - k ~ z c k ~ x ϕ 2 γ - 1 + ρ k ~ z v - k ~ y w k ~ y ϕ 2 γ - 1 + ρ k ~ x w - k ~ z u k ~ z ϕ 2 γ - 1 + ρ k ~ y u - k ~ x v α ϕ 2 + c 2 γ - 1 + c θ ~ α ϕ 2 + c 2 γ - 1 - c θ ~$ $T k - 1 ∂ F ^ v ∂ Q U T k = μ k → · k → 1 ρ T k - 1 0 0 0 0 0 0 - k ~ z ρ k ~ y ρ 4 3 α k ~ x c - 4 3 α k ~ x c k ~ z ρ 0 - k ~ x ρ 4 3 α k ~ y c - 4 3 α k ~ y c - k ~ y ρ k ~ x ρ 0 4 3 α k ~ z c - 4 3 α k ~ z c ρ k ~ z v - k ~ y w ρ k ~ x w - k ~ z u ρ k ~ y u - k ~ x v 4 3 α k ~ → · U → c - 4 3 α k ~ → · U → c$ $T k - 1 ∂ F ^ v ∂ Q U T k = μ k → · k → 1 ρ k ~ x 1 - ϕ 2 c 2 - ρ - 1 k ~ z v - k ~ y w k ~ x γ - 1 u c - 2 k ~ z ρ - 1 + k ~ x γ - 1 v c - 2 - k ~ y ρ - 1 + k ~ x γ - 1 w c - 2 - k ~ x γ - 1 c - 2 k ~ y 1 - ϕ 2 c 2 - ρ - 1 k ~ x w - k ~ z u - k ~ z ρ - 1 + k ~ y γ - 1 u c - 2 k ~ y γ - 1 v c - 2 k ~ x ρ - 1 + k ~ y γ - 1 w c - 2 - k ~ y γ - 1 c - 2 k ~ z 1 - ϕ 2 c 2 - ρ - 1 k ~ y u - k ~ x v k ~ y ρ - 1 + k ~ z γ - 1 u c - 2 - k ~ x ρ - 1 + k ~ z γ - 1 v c - 2 k ~ z γ - 1 w c - 2 - k ~ z γ - 1 c - 2 β ϕ 2 - c θ ~ β k ~ x c - γ - 1 u β k ~ y c - γ - 1 v β k ~ z c - γ - 1 w β γ - 1 β ϕ 2 + c θ ~ - β k ~ x c + γ - 1 u - β k ~ y c + γ - 1 v - β k ~ z c + γ - 1 w β γ - 1 0 0 0 0 0 0 - k ~ z ρ k ~ y ρ 4 3 α k ~ x c - 4 3 α k ~ x c k ~ z ρ 0 - k ~ x ρ 4 3 α k ~ y c - 4 3 α k ~ y c - k ~ y ρ k ~ x ρ 0 4 3 α k ~ z c - 4 3 α k ~ z c ρ k ~ z v - k ~ y w ρ k ~ x w - k ~ z u ρ k ~ y u - k ~ x v 4 3 α k ~ → · U → c - 4 3 α k ~ → · U → c$ $T k - 1 ∂ F ^ v ∂ Q U T k = μ k → · k → 1 ρ 1 - k ~ x k ~ x - k ~ y k ~ x - k ~ z k ~ x 0 0 - k ~ x k ~ y 1 - k ~ y k ~ y - k ~ z k ~ y 0 0 - k ~ x k ~ z - k ~ y k ~ z 1 - k ~ z k ~ z 0 0 0 0 0 2 3 - 2 3 0 0 0 - 2 3 2 3$ $λ U , U = 1 , 1 , 0$ $λ U , a = 4 3 , 0$ Speed of sound part.

$T k - 1 ∂ F ^ v ∂ Q a T k = μ Pr k → · k → γ ρ T k - 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - ρ e 0 ρ - U → · U → - u - v - w 1 k ~ x k ~ y k ~ z α α k ~ x u k ~ y u - k ~ z ρ k ~ z u + k ~ y ρ α u + k ~ x c α u - k ~ x c k ~ x v + k ~ z ρ k ~ y v k ~ z v - k ~ x ρ α v + k ~ y c α v - k ~ y c k ~ x w - k ~ y ρ k ~ y w + k ~ x ρ k ~ z w α w + k ~ z c α w - k ~ z c k ~ x ϕ 2 γ - 1 + ρ k ~ z v - k ~ y w k ~ y ϕ 2 γ - 1 + ρ k ~ x w - k ~ z u k ~ z ϕ 2 γ - 1 + ρ k ~ y u - k ~ x v α ϕ 2 + c 2 γ - 1 + c θ ~ α ϕ 2 + c 2 γ - 1 - c θ ~$ $T k - 1 ∂ F ^ v ∂ Q a T k = μ Pr k → · k → γ ρ T k - 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - k ~ x c 2 γ γ - 1 - k ~ y c 2 γ γ - 1 - k ~ z c 2 γ γ - 1 - α c 2 γ - α c 2 γ$ $T k - 1 ∂ F ^ v ∂ Q a T k = μ Pr k → · k → 1 ρ k ~ x 1 - ϕ 2 c 2 - ρ - 1 k ~ z v - k ~ y w k ~ x γ - 1 u c - 2 k ~ z ρ - 1 + k ~ x γ - 1 v c - 2 - k ~ y ρ - 1 + k ~ x γ - 1 w c - 2 - k ~ x γ - 1 c - 2 k ~ y 1 - ϕ 2 c 2 - ρ - 1 k ~ x w - k ~ z u - k ~ z ρ - 1 + k ~ y γ - 1 u c - 2 k ~ y γ - 1 v c - 2 k ~ x ρ - 1 + k ~ y γ - 1 w c - 2 - k ~ y γ - 1 c - 2 k ~ z 1 - ϕ 2 c 2 - ρ - 1 k ~ y u - k ~ x v k ~ y ρ - 1 + k ~ z γ - 1 u c - 2 - k ~ x ρ - 1 + k ~ z γ - 1 v c - 2 k ~ z γ - 1 w c - 2 - k ~ z γ - 1 c - 2 β ϕ 2 - c θ ~ β k ~ x c - γ - 1 u β k ~ y c - γ - 1 v β k ~ z c - γ - 1 w β γ - 1 β ϕ 2 + c θ ~ - β k ~ x c + γ - 1 u - β k ~ y c + γ - 1 v - β k ~ z c + γ - 1 w β γ - 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - k ~ x c 2 γ - 1 - k ~ y c 2 γ - 1 - k ~ z c 2 γ - 1 - α c 2 - α c 2$ $T k - 1 ∂ F ^ v ∂ Q a T k = μ Pr k → · k → 1 ρ k x k x k x k y k x k z k x α γ - 1 k x α γ - 1 k y k x k y k y k y k z k y α γ - 1 k y α γ - 1 k z k x k z k y k z k z k z α γ - 1 k z α γ - 1 - k x β c 2 - k y β c 2 - k z β c 2 - γ - 1 2 - γ - 1 2 - k x β c 2 - k y β c 2 - k z β c 2 - γ - 1 2 - γ - 1 2$ $λ a = 2 - γ , 0 , 0 , 0 , 0$

References

1) Krist, S. L., Biedron, R. T., and Rumsey, C. L., "CFL3D User's Manual (Version 5.0)," NASA TM 1998-208444, June 1998.